数缺形时少直观，形少数时难入微，
             数形结合百般好，隔裂分家万事休。 ---华罗庚

浅谈高中数学应用题的教学

　　 从 1993 年以来，应用题作为高考的热点问题而倍受人们广泛关注，它已经成为每年高考的必考题，而且还在加大考查的力度。特别是 99 年全国高考试题中，有三道题目考查了应用题。这些都应引起我们从事中学数学教育的各位同仁的重视，本文拟结合教学实践对高中数学应用题的教学，谈谈本人的一些粗浅的看法。

　　一、提高对应用题教学的认识

　　 数学源于实践，高于实践，又服务于实践。要提高民族的数学素质，起码应该包括数学的应用能力。传统的数学教学往往强调数学化的结果，而忽略了数学化的过程，因而学生常常不会灵活应用。高中数学应用题的教学正是给学生提供一个根据客观现实而形成数学概念，构造数学模型，体现数学应用性的极好机会。

　　数学应用题的教学，是提高学生分析问题(wenti)，解决问题能力的好途径。但由于这类题目往往文字叙述长，数学背景陌生，涉及面又广，因而阅读和理解至关重要，这里要做到以下两点：

　　1、消除心理障碍

　　 许多学生一见应用题文字这么长，数学中的情景又比较陌生，连题目都没有看完，就望而生畏，置之不理。实际上，这种情况下的题目也是对学生必理素质的严峻考验，所以我们要求学生要树立信心，提高心理承受能力，保持冷静，认真对待，不能随意放弃，而且在平时教学过程中注意有计划，有目的地加一些应用题进行分析，每次考试都尽可能地考查一道与复习内容相关的应用题，以便帮助学生消除心理障碍。

　　2、排除语言障碍

　　 要排除语言障碍，必须做好读题和翻译工作。读题是翻译的基础，通过读题，抓住关键的数量关系，然后准确地翻译为数学语言，从而达到解决问题的目的。

　　二、要充分发挥课本中应用问题的辐射作用

　　 在我们现在的课本中，每章都有多处内容、习题涉及到数学的应用问题：《代数》上册中有：水池、寄信邮资、细胞分裂、钢板下料等应用问题：《代数》下册中有：堆放钢管、升价降价、增长率问题、浓度问题、排列组合问题等等。《立体几何》中有围绕异面直线的距离，最短距离问题，侧面展开图等等而展开的实际应用问题，《解析几何》中有拱桥、天体运行轨道、平抛运动、探照灯反射面等等。尽管这些问题大多比较简单，但它们仍然为将实际问题“数学化”提供了丰富的材料和最基本的实例。我们应该充分挖掘这些实际应和问题的潜力，从中体味所用的数学知识、方法和思想，帮助学生在学习过程中储存一些“基本模式”，为以后进行应用问题的教学打下坚实的基础。

　　三、从高考应用题看常见的建模类型

　　从 93 年至今，高考已经 7 年对应用问题进行了不同程度的考查，解决这些应用问题的关键是能够从题目中分析、抽象、归纳出它的数学模型。常见的建模有下列几种。

　　1、函数建模：

　　P ≥ 1000(x+t-8) (x ≥ 8 ， t ≥ 0)

　　Q=500 (8 ≤ x ≤ 14)

　　当 P=Q 时的市场价格称为市场平衡价格。

　　②对陌生名词的理解：“平衡价格”是供应量 P 等于需求量 Q 时的市场价格，用 x 表示。

　　③把本质内容翻译为数学语言：设 P=1000(x+t-8) (x ≤ 8 ， t ≥ 0) 。

　　Q=500 (8 ≤ x ≤ 14) 。当 P=Q 时，（ 1 ）将 x 表示为 t 的函数，并求其定义域；（ 2 ）若 x ≤ 10 ，求 t 的最小值。

　　2、数列建模

　　现实生活中，涉及到增长率、升降价、银行利息等问题，常常是数列建模， 1996 年理（ 23 ）有关耕地与人口增长率问题就是数列建模。

　　 例2 、已知某市 1990 年底人口为 100 万，人均住房面积为 5m 2 。如果该市每年人口平均增长率为 2% ，每年平均新建住房面积为 10 万 m 2 。试求到 2000 年底该市人均住房面积（精确到 0.01 ）。（ 1991 年上海高考题）。

　　 分析： 这里有两个数列模型。

　　①每年年底的住房面积构成一等差数列，公差为 10 。

　　②每年年底的人口总数构成一等比数列，公式为 1+2% 。

　　3、几何建模

　　这类问题主要涉及现实生活中的一些常见的几何体，如水桶、水坝、谷堆、地球、人造卫星等等与面积及体积有关的实际问题。

　　 例3、 在半径为 30 米的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为 120 °，若要光源程序恰好照亮整个广场，则其高度为 ____ 米。（ 1993 年全国高考题）。

　　4、最优化建模

　　最优化问题是日常生活中生产中经常出现的问题。如：投资、试验、销售等，解决此类问题往往转化为函数、不等式来解决。

　　 例4 、建筑学规定，民主住宅的窗户面积必须小于地板地积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于 10% ，并且这个比越大，住宅的采光条件越好，问：同时增加相等窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？

　　 分析 ：设原住宅的窗户面积和地板面积分别为 a ， b （平方单位），同时增加的面积为 m ，则问题转化为在约束条件 a ＜ b ≤ 10a 及 m ＞ 0 下，比较与 的大小，所以采光条件变好了。此题实质就是课本《代数》下册第 12 页例 7 的应用。

　　四、要注重发挥应用题教学的德育效应和重视推理过程的书写完整