数缺形时少直观，形少数时难入微，
             数形结合百般好，隔裂分家万事休。 ---华罗庚

立体几何中的最值问题四则

1. 用配方法求距离的最值

例1. 如图1，正方形ABCD、ABEF边长都是1，且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若。试求当a为何值时，MN的值最小。

图1

分析：此题的解题关键是想用含a的代数式表示距离，再用配方法求最值。

解：过M作，垂足为H，连结NH，如图1所示。

在正方形ABCD中，，

所以，

因为平面平面AE，

所以平面AE，即。

因为，

所以

即，

，

由余弦定理求得。

所以

当时，，即M、N分别移到AC、BF的中点时，MN的值最小，最小值为

2. 结合实际找最值位置

例2. 在一张硬纸上，抠去一个半径为的圆洞，然后把此洞套在一个底面边长为4，高为6的正三棱锥A—BCD上，并使纸面与锥面平行，则能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是________。

图2

解：如图2所示，假设硬纸上的圆洞刚好卡在B'C'D'处。设正三棱锥的顶点A在平面BCD上的射影为A'，在平面B'C'D'上的射影为O。

连结BA'、B'O并延长分别交CD、C'D'于E、E'点，则

平面平面BCD，

所以，

，

即。

又因为，

所以

又，

所以，

即能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是。

3. 利用函数的有界性求体积最值

例3. 如图3，已知在中，，平面ABC，于E，于F，，，当变化时，求三棱锥体积的最大值。

图3

解：因为平面ABC

平面ABC，

所以

又因为，

所以平面PAC，

又平面PAC，

所以，

又，

所以平面PBC，即。

EF是AE在平面PBC上的射影，

因为，

所以，

即平面AEF。

在三棱锥中，

，

所以，

因为，

所以

因此，当时，取得最大值为。

4. 结合图形列方程求解。

例4. 棱长为2cm的正方体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？

图4

解：过正方形对角线的截面图如图4所示。 ，      设小球的半径为r。      在，

，        所以，

解得，为所求。