数缺形时少直观，形少数时难入微，
             数形结合百般好，隔裂分家万事休。 ---华罗庚

非二次函数方程根问题应对策略

    非二次函数方程根问题是高考常考的知识点.这类问题涵盖知识点多,综合性强,能较好地考查数学思想方法,学生们求解起来往往颇感困难,本文就非二次函数方程根问题常见类型结合一些高考试题和模拟试题进行分析,探寻解题策略,以供参考.

1. 判断方程根的个数问题

【例1】(2008年元月黄冈市)方程，的根的个数是（   ）

A.1个    B.2个  C.3个   D.4个

【解】因为方程有根,

故,令,则问题转化为

方程的根个数问题,记;

,则问题转化为两曲线交点个数问题,

在同一坐标系中画出它们的图象,如图所示,故选B.

【评】  方程根个数与曲线交点个数是相同.本例先对数式换元转化,再进行数形转化,再考查曲线交点的个数.

【例2】若函数的定义域,对任意实数都满足,,若当,.

函数,则方程的根的个数为(    )

A.4    B.6   C.8   D.10             

【解】和均为偶函数,它们的图象

都关于轴对称,依条件

,,知

是以2为最小正周期的周期函数.

在同一坐标系中画出它们的图象(只画轴右侧,因为它们均为偶函数),依对称性可知原方程的根为10个.

【评】  本例是利用函数性质画图,再考查两图象交点的个数.  

2.知方程根个数反求参数取值范围问题

【例3】 (2008年3月长沙市)

已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )

A .B． C． D．

【解】记,在同一

坐标系中画出它们的图象,欲使原方程有两个不相等的实根,则,选B.

【评】  注意函数在上的性质, 画出函数的图象,又是一组平行直线, 当,时,它们总有两个不同交点.

【例4】(2005年上海考题)

设定义域为的函数,则关于的

方程有7个不同的实数根的充要条件是(   )

Ａ．           

Ｂ．           

Ｃ．         

Ｄ． 

【解】画出图象,若关于的方程

有7个根,令,

则方程必有一个根,另一个根.故.选C.

【评】这类问题称为“复合方程”根问题,在解题时一是要注意关于的方程

根与关于的的方程的根对应关系,二是要定性地画出图象.若设方程的7个根分别为,则依根的对称性知的值为7.

3.函数导数不等式与方程根综合题

【例5】（2008年元月份武昌区改编）

已知函数在区间（1，2 ]上是增函数，在区间（0，1）上为减函数.

（Ⅰ）试求函数的解析式；

 (Ⅱ) 若,时，试就参数的取值讨论方程根的个数.

【解】（Ⅰ）在恒成立,所以,.

又在恒成立,

所以 ,.                

从而有.

故,.            

 （Ⅱ）令,

    则

所以在上是减函数,在上是增函数,    

从而当时,

.

依函数性质画草图.

因此,

当时, 图象与轴有两个不同交点,即方程在有两异根.

当时, 图象与轴仅有1个交点,即方程在只有一个根;

当 时, 图象与轴无交点,方程在上无根;

【评】本例第(Ⅱ)问解法是构造差函数,再利用导数来研究函数的单调性和极值,从而画出的草图,于是方程有解等价于函数图象与轴有交点,方程解的个数与图象和轴的交点个数相同

【例6】(2006年福建卷)已知函数

（I）求在区间上的最大值

（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

【解】（I）略

（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数

的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

当时，是增函数；

当时，是减函数；

当时，是增函数；

当或时，

当充分接近0时，当充分大时，

依性质画出的草图,

要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

即

所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为

【评】本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.图象有三个不同交点与方程有三个根实质是相同的，本例用导数来研究函数的单调性和极值,数形结合,画草图便可使问题获得解决.

【例5】(中学数学教学参考2008年1-2期)设函数

(Ⅰ)试确定和

(Ⅱ)说明方程是否有解;

(Ⅲ)对于自然数,试给出关于的方程的解的情况的一个定性结论,并加以证明.

【解】(Ⅰ)

,所以是减函数;

,在区间

上为减函数,在上为增函数.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知无解.

(Ⅲ)猜想当为偶数时,关于方程无解;

当为奇数时,关于的方程有且只有一解,下面证明:

当为偶数时, ,

所以, 在上为减函数,

在上为增函数,

所以无解.

当为奇数时, 易证

有

所以是上的减函数.

又因为

当取不小于1的奇数时, ,

所以关于的方程的方程有且只有一解.

【评】  本题查功能强大,考查学生对导数及不等式的基本知识和基本技能及掌握程度以及运算能力,以及归纳推理能力和逻辑推理能力,在“给出关于的方程的解的情况的一个定性结论,并加以证明”这一问有一定的难度，要用到猜想、证明、分类讨论和根存在判断定理及数形结合思想等。

总之，对于非二次函数方程根问题考查题求解主要策略是数形结合法，等价转化法，用导数法来研究函数的性质法。理解下面几个重要结论对解题有帮助。

① 方程解的个数与函数图象和交点的个数是相同的，与构造差函数和轴的交点个数也是相同的。

②含参数的方程分离变元后得，有解的充要条件是取值集合就是函数值域.

③函数在连续，若，则至少有一个实数，使得.

④函数在连续且单调递增(减)，若，则有且只有一个实数，使得.