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数缺形时少直观，形少数时难入微， |
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江苏省睢宁高级中学南校 2010-2011学年高三上学期10月学情调研试卷 数学 命题人：高三数学备课组 2010．10 一、填空题： １、记函数的定义域为A，则中有 2 ▲ 个元素． ２、已知为虚数单位），则= 6 ▲ ． ３、已知命题：“，使”为真命题，则a的取值范围是 a≥-8 ▲ ． ４、若向量与满足: 则与所夹的角为▲ ．．．．．． ５、已知集合且, 从到的两个函数分别为,若对中任意一个, 都有求其中为单元集的概率 ▲ ．． 6、 若则的值为 ▲ ． 7、设为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若∥且∥，则∥；（2）若且，则∥； （3）若∥且∥，则∥；（4）若且，则∥． 上面命题中，所有真命题的序号是 ▲ ． （2），（4） 8、 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价． 该地区的电网销售电价表如下：
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时, 低谷时间段用电量为千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 ▲ 元（用数字作答）． 9、 已知D是由不等式组EQ \b\lc\{(\a\al(x－2y≥0，,x＋3y≥0))所确定的平面区域，则圆 x2＋y2＝4 围成的区域与区域D的公共部分的面积为 ▲ ．．
10、右图是一个算法的流程图，最后输出的T= ▲ －2 ．
11、 若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则 64▲ ．
12、如图，已知是椭圆 的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离 心率为 ▲ .
13、符号表示不超过的最大整数，如，定义函数， 那么下列命题中正确的序号是 （2）、（3）▲ ． （1）函数的定义域为R，值域为； （2）方程有无数解； （3）函数是周期函数； （4）函数是增函数. 14、已知成等差数列，将其中的两个数交换，得 到的三数依次成等比数列，则的值为 20▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、（本题14分）已知为坐标原点，，． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）若的定义域为，值域为，求的值．
15.（本题14分） 解：（Ⅰ）……2分 ==……4分 由 得的单调递增区间为 ……7分 （Ⅱ）当时， ……9分 ∴ ……11分 ∴，∴ ……14分 16、（本小题满分14分） 如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD,CD=2AB,AB平面PAD，E为PC的中点． （1）求证：BE∥平面PAD; （2）若ADPB，求证：PA平面ABC D． 16．（本小题满分14分） 证明：（1）（方法一）取PD中点F，连结EF，AF． 因为E是PC的中点，F是PD的中点， 所以EF∥CD，且CD=2EF．
又因为AB∥CD,CD=2AB, 所以EF=AB，即四边形ABEF是平行四边形． 因此BE∥AF．………………5分 又平面PAD，平面PAD, 所以BE∥平面PAD．………………8分 （方法二）延长DA、CB，交于点F，连结PF． 因为AB∥CD,CD=2AB, 所以B为CF的中点． 又因为E为PC的中点， 所以BE∥PF．………………5分 因为平面PAD，平面PAD, 所以BE∥平面PAD．………………8分 （方法三）取CD中点F，连结EF，BF． 因为E为PC中点，F为CD中点， 所以EF∥PD． 因为平面PAD，平面PAD, 所以EF∥平面PA D．………………2分 因为F为CD中点，所以CD=2FD．
又CD=2AB,AB∥CD, 故AB=FD，即四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD． 因为平面PAD，平面PAD,所以BF∥平面PAD． 因为平面BEF, 所以平面BEF∥平面PA D．………………6分 因为平面BEF，所以BE∥平面PA D．………………8分 （2）因为AB平面PAD,PA,平面PAD, 所以……………………10分 因为 所以平面PA B．………………12分 又平面PAB，所以 因为故PA面ABCD．……………………14分
17、（本小题满分14分） 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且． （1）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ （注：年利润=年销售收入－年总成本）
当x >10时， ……………5分 （2）①当0<x≤10时，由 当 ∴当x=9时，W取最大值，且 ……………10分 ②当x>10时，W=98 当且仅当 综合①、②知x=9时，W取最大值． 所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大． ……………15分 18、 (本题满分16分) 已知圆，点，直线. ⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程； ⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.
18．解：⑴设所求直线方程为，即， 直线与圆相切，∴，得， ∴所求直线方程为 ------------5分 ⑵方法1：假设存在这样的点， 当为圆与轴左交点时，； 当为圆与轴右交点时，， 依题意，，解得，（舍去），或。 ---------------------------8分 下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数。 设，则， ∴， 从而为常数。 ----------------------------15分 方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则， ∴，将代入得， ，即 对恒成立， ---------------------------8分 ∴，解得或（舍去）， 所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。 ---------------------15分
19、（本小题满分16分） 已知函数且，其中、 （1）求m的值； （2）求函数的单调增区间． 18．（本小题满分16分） 解：（1）由题设知，函数的定义域为， ………………2分 由得解得m=1．………………4分 （2）由（1）得………6分 当时，由得或 此时的单调增区间为和（0，）…………9分 当时，的单调增区间为．………………11分 当时，由得 此时的单调增区间为和（0，）．………………14分 当时，由 此时的单调增区间为． 综上，当时，的单调增区间为．和（0，1）；当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为和:当时，的单调增区间为．………………16分 20、（本小题满分16分） 已知数列满足， （1）若数列是等差数列，求的值； （2）当时，求数列的前n项和； （3）若对任意都有成立，求的取值范围． 20．（本小题满分16分） 解：（1）若数列是等差数列，则 由得即 解得，……………………4分 （2）由得 两式相减，得 所以数列是首项为，公差为4的等差数． 数列是首项为，公差为4的等差数列， 由 所以……………………6分 ①当
……………………8分 ②当为偶数时，
……………………10分 （3）由（2）知， ①当为奇数时， 由 令 当 解得……………………13分 ②当为偶数时， 由 令 当时， 解得 综上，的取值范围是………………16分 附加题 21、已知若矩阵所对应的变换把直线变换为自身，求的值．
22、已知曲线C的参数方程为 eq \b\lc\{(\a\al(x=sinα,y=cosα))(α∈R，α为参数)．当极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，且极轴在x轴的正半轴上时，曲线D的极坐标力程为ρsin(θ+ eq \f(π,4))= eq \r(2)a． (I)试将曲线C的方程化为普通方程，曲线D的方程化为直角坐标方程； (II)试确定实数a的取值范围，使曲线C与曲线D有公共点．
22、(I)x2＋y2＝1；x＋y＝2a．(II)－ eq \f(\r(2),2)≤a≤ eq \f(\r(2),2)． 23、(本小题共10分) 一个暗箱中有3只白球与2只黑球共5只球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地取球，乙从暗箱中无放回地取球，若甲、乙各自取出2只球． (I)写出甲总得分ξ的分布列； (II)求甲总得分大于乙总得分的概率． 22. (I)甲的分布列为：
(II) eq \f(36,125)
24．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点． （1）求异面直线DC1,B1C所成角的余弦值； （2）求二面角B1—DC—C1的平面角的余弦值．
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