数缺形时少直观，形少数时难入微，
             数形结合百般好，隔裂分家万事休。 ---华罗庚

江苏省如皋中学10-11学年高三上学期10月月考

数学

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分共70分）．

1．若复数满足，则复数在复平面上的对应点在        象限.

2．设为等差数列的前项和，若，则     ．

3．计算：＝　　　　.

4．已知各项不为的等差数列，满足，数列是等比数列，

且，则         ．

5．已知，且为第二象限角，则实数的取值为　　　　.

6．若的值为         ．

7．已知等差数列的前13项之和为，则等于         ．

8.在中，内角A、B、C的对边分别为，已知成等比数列，且，，则的面积为　　　　.

9．已知函数，当在区间上任意取值时，函数值不小于又不大于的概率是________．

10．已知函数，其导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为　　　　.

11．设均为正实数，且，则的最小值为　　　　.

12．已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是       ．

13．已知函数满足：当；当．则＝________.

14．设为实数，若，则的取值范围是____________．

二．解答题：（14+14+15+15+16+16）

15．已知全集，非空集合，.

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围.

16．已知函数是的导函数．

   （1）求函数的最大值和最小正周期；

   （2）若，求的值

17.已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)若的三边满足，且边所对角为，试求的取值范围，并确定此时的最大值.

18.如图，是一块边长，的剩余角料.现要从中裁剪出一块面积最大的平行四边形用料，要求顶点分别在边上.问点在边上的什么位置时，剪裁符合要求？并求这个最大值.

19．已知．

（1）若的单调递增区间；

（2）若的最大值为，求实数的值．

20.已知数列满足：

(1)求的值及数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

加试题

1.求曲线所围成的图形的面积．

2．已知M=，试计算

3．在极坐标系下，已知圆和直线。

（1）求圆和直线的直角坐标方程；

（2）当时，求直线于圆公共点的极坐标。

4．为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）。现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客。在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡。.   

（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（2）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。

江苏省如皋中学10-11学年高三上学期10月月考

数学答案

1．三2．15    3．eq \r(2)    4.16   5。4    6  7。-1  8。eq \f(\r(7),4)     9．eq \f(3－\r(3),4)   10 。f(x)=4sin(+)   11。16     12。   13。eq \f(1,24)     14。[，eq \f(4,3)]

15．解：（Ⅰ）当时，,,

∁_U=，(∁_U)＝.

（Ⅱ）由若是的必要条件，即，可知. 

由，          

当，即时，，

，解得，;

当，即时，，符合题意;

当，即时，，

，解得，;

综上，.

16．解：⑴ 由已知得，数学驿站 www.maths168.com

故

其最大值为，最小正周期为。

   ⑵ 若，则，得。

。

17．解：(1)f(x)＝2cosx·sin(x＋eq \f(π,3))－eq \f(\r(3),2)

＝2cosx(sinxcoseq \f(π,3)＋cosxsineq \f(π,3))－eq \f(\r(3),2)＝2cosx(eq \f(1,2)sinx＋eq \f(\r(3),2)cosx)－eq \f(\r(3),2)

＝sinxcosx＋eq \r(3)·cos²x－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)sin2x＋eq \r(3)· eq \f(1＋cos2x,2)－eq \f(\r(3),2)

＝eq \f(1,2)sin2x＋eq \f(\r(3),2)cos2x＝sin(2x＋eq \f(π,3)).

∴T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,2)＝π.

(2)由余弦定理cosB＝eq \f(a²＋c²－b²,2ac)得，cosB＝eq \f(a²＋c²－ac,2ac)

＝eq \f(a²＋c²,2ac)－eq \f(1,2)≥eq \f(2ac,2ac)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(1,2)≤cosB＜1，而0＜B＜π，

∴0＜B≤eq \f(π,3).函数f(B)＝sin(2B＋eq \f(π,3))，∵eq \f(π,3)＜2B＋eq \f(π,3)≤π，当2B＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，

即B＝eq \f(π,12)时，f(B)_max＝1.

18．解：设BQ＝x，则CQ＝7－x，且0＜x＜7.

由余弦定理，得A＝120°，cosB＝eq \f(11,14)，cosC＝eq \f(13,14)，

∴sinB＝eq \f(5\r(3),14)，sinC＝eq \f(3\r(3),14).

在△PQB中，由正弦定理，得PQ＝eq \f(xsinB,sin120°).

在△RQC中，由正弦定理，得RQ＝eq \f((7－x)sinC,sin120°).

∴S▱APQR＝PQ·RQ·sin120°＝eq \f(x(7－x)sinBsinC,sin120°)

＝eq \f(15\r(3),98)x(7－x)，当x＝eq \f(7,2)时，取最大值eq \f(15\r(3),8).

故当Q是BC中点时，平行四边形APQR面积最大，最大面积为eq \f(15\r(3),8)米.

19．解：（1）当， 

令

因此 

   （2）

令。

①若

由；

②若

由； 综上，

20．解：(1)经计算a₃＝3，a₄＝eq \f(1,4)，a₅＝5，a₆＝eq \f(1,8).

当n为奇数时，a_n＋2＝a_n＋2，即数列{a_n}的奇数项成等差数列，

∴a_2n－1＝a₁＋(n－1)·2＝2n－1.

当n为偶数时，a_n＋2＝eq \f(1,2)a_n，即数列{a_n}的偶数项成等比数列，

∴a_2n＝a₂·(eq \f(1,2))^n－1＝(eq \f(1,2))ⁿ.因此，数列{a_n}的通项公式为a_n＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n　(n为奇数)，,(\f(1,2))\f(n,2)　(n为偶数).))

(2)∵b_n＝(2n－1)·(eq \f(1,2))ⁿ，

∴S_n＝1·eq \f(1,2)＋3·(eq \f(1,2))²＋5·(eq \f(1,2))³＋…＋(2n－3)·(eq \f(1,2))^n－1＋(2n－1)·(eq \f(1,2))ⁿ，                 

eq \f(1,2)S_n＝1·(eq \f(1,2))²＋3·(eq \f(1,2))³＋5·(eq \f(1,2))⁴＋…＋(2n－3)·(eq \f(1,2))ⁿ＋(2n－1)·(eq \f(1,2))^n＋1，                  ②

①②两式相减，

得eq \f(1,2)S_n＝1·eq \f(1,2)＋2[(eq \f(1,2))²＋(eq \f(1,2))³＋…＋(eq \f(1,2))ⁿ]－(2n－1)·(eq \f(1,2))^n＋1

＝eq \f(1,2)＋eq \f(\f(1,2)·[1－(\f(1,2))^n－1],1－\f(1,2))－(2n－1)·(eq \f(1,2))^n＋1＝eq \f(3,2)－(2n＋3)·(eq \f(1,2))^n＋1.

∴S_n＝3－(2n＋3)·(eq \f(1,2))ⁿ.

21．解：如图，由S=解得交点为(0,1)，所求面积为

S=  (e^x-e^-x)dx=(e^x+e^-x) =e+ -2.

22．：矩阵M的特征多次式为，对应的特征向量分别为和，而，所以

23．解：（1）圆，即

圆的直角坐标方程为：，即

直线，即则直线的直角坐标方程为：，即。

（2）由得

     故直线与圆公共点的一个极坐标为。

24．解：（1）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

     事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，

     事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。      .   

     所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。

（2）的可能取值为0，1，2，3

 ,     .   

      ，，.

     所以的分布列为

所以，