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淮阴中学、姜堰中学、前黄中学第一次联考2011届高考数学 学科学习能力评价试卷 一、填空题（每题5分，满分70分） 1、函数的最小正周期= . 2、已知为虚数单位，则复数的实部= . 3、写出命题:，的否定： . 4、已知函数是上的偶函数，则常数= . 5、已知向量、满足，，，则与的夹角= . 6、设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，有下面四个命题：① ；② ； ③ ；④ .其中真命题的序号是 . 7、设集合，，则的子集共有 个. 8、在中，，且的面积，则的值= . 9、设曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为 . 10、已知，，则的值= . 11、已知函数的图像是一个中心对称图形，则图像的对称中心坐标为 . 12、已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为 . 13、已知四棱锥的顶点在底面的射影恰好是底面菱形的两对角线的交点，若，，则长度的取值范围为 .
14、如图放置的等腰直角三角形薄片（，）沿轴滚动，设顶点的轨迹方程是，则在其相邻两个零点间的图像与轴所围区域的面积为 . 二、解答题（满分90分） 15、（14分）设为实数，给出命题：关于的不等式的解集为，命题：函数的定义域为，若命题和中有且仅有一个正确，求的取值范围。
16、（14分）已知向量, , （1）若为中点，，求、的值； （2）若是直角三角形，求的值。
17、（14分）如图，正方形与等边所在平面互相垂直，，为中点，为中点。 （1）求证：∥平面； （2）求三棱锥的体积。
18、（16分）某企业有两个生产车间分别在、两个位置，车间有100名员工，车间有400名员工，现要在公路上找一点，修一条公路，并在处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知、、中任意两点间的距离均是1，设，所有员工从车间到食堂步行的总路程为. （1）写出关于的函数表达式，并指出的取值范围； （2）问食堂建在距离多远时，可使总路程最少？ 19、（16分）设函数 的最小值为，两个实根为、 . （1）求的值；（2）若关于的不等式解集为，函数在上不存在最小值，求的取值范围；（3）若，求的取值范围。
20、（16分）函数，，. （1）①试用含有的式子表示；②求的单调区间； （2）对于函数图像上的不同两点，，如果在函数图像上存在点（其中在与之间），使得点处的切线∥，则称存在“伴随切线”，当时，又称存在“中值伴随切线”。试问：在函数的图像上是否存在两点、，使得存在“中值伴随切线”？若存在，求出、的坐标；若不存在，说明理由。
2011届高考数学参考答案与评分标准 一、填空题（每题5分，满分70分） 1、 ；2、1 ；3、， ；4、 0 ；5、 ； 6、 ①③ ；7、 2 ；8、 4 ；9、 ；10、 ；11、 ； 12、 ；13、 ；14、 . 二、解答题（满分90分） 15、解：①若正确，则由得 （4分） ②若正确，则解集为（6分） 当时，不合，舍去；当时，则解得 （10分） ③∵和中有且仅有一个正确， ∴ 或 ∴或者为求 （14分） 16、解：(1) ∵ （1分） 而 ∴， （7分） （2）①当时， ∴ （9分） ②当时，∵ （10分） ∴ ∴ （12分） ③当时，，∴ 综上 或 （14分） 17、（1）证：取中点，连， （1分） ∵为中点，∴ 又为中点，为正方形，∴ ∴为平行四边形 ∴∥ （6分） 又面，面∴∥平面 （8分） （2）解：∵面面于，，面 面，∴面 ∴ （10分） 又， ∴面 ∴面 （12分） ∴ (14分) 18、解：（1）在中，∵， ∴，.则. （6分）
其中 . （8分） （2） （12分） 令，得. 当时，，是的单调减函数； 当时，，是的单调增函数. ∴当时，取得最小值. 此时，， （14分）
. （答略） （16分） 19、解：（1）∵ ∴ ∴ . （4分） （2）不妨设；，在不存在最小值，∴或 （8分） 又， ∴ （10分） （3）∵， ∴ （12分） 又 ∴ ∴在上为增函数. ∴ （16分） 20、解：（1）① ∵ ∴ . （2分） ② ∵， ∴当时 ， 当时， ∴增区间为，减区间为 （6分） （2）不存在 （7分） （反证法） 若存在两点，，不妨设，则 曲线在的切线斜率 又 ∴由得 ① （11分） 法一：令
∴在上为增函数 （15分） 又 ∴ 与①矛盾 ∴不存在 （16分） 法二：令，则①化为 ② 令 ∵ ∴在为增函数 （15分） 又 ∴此与②矛盾，∴不存在 （16分）
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