智力数学趣题：不胫而走

    证明 由题设得，居住区的任何两个居民A和Z必有熟人链联系着，即A认识B，B认识C，…，Y认识Z，否则，传给B的消息就不能为Z所知道，与题设矛盾。我们将只考虑这样的熟人链，在链中每个成员只出现一次，如果链中某成员M出现两次，即含有闭合链M一N一…一M，我们可以割断M，N之间的联系，而从原有的整条链中删除N一…一M这一部分，剩下的还有链，那么，从没有闭合链的假设推得，任何两居民A和Z之间有且仅有一条熟人链，因为如果有两条链A一B′一…一Y′一Z和A一B一…一Y—Z，由于熟人关系是对称的，就有闭合链A一B一…一Y一Z—Y一…一B′一A，与假设矛盾，显然，我们只要在没有闭合链的假设下证明题设就够了。

上述联系两个居民的熟人链所有成员数目称为这两个居民的“距离”，可以选择两个居民x和r，他们的距离是最大的，我们研究联系他们的熟人链

X一A₁一A₂一…一A_k一Y ①

先设k≤l9（即链中不多于21人）。考虑这里适中的一个A_m（k是偶数时，m=k或（19+2）+1，取整数得11，于是A_m到其他每个居民的距离也都不超过11，事实上，设且A_m到任一居民Z的链是

A_m一一B₁一B₂一…一B_n一Z ②

如果B_l不是A_m—l，就是X到Z的链

X一A₁一…一A_m一B_n一Z ③

如果B1不是A_m+l，就有Z到Y的链

Z一B_n一…一B₁一A_m一…一A_k一Y ④

与X到Y的链①即

X—A_l一…一A _m一…一A_k—Y

比较，它和③不同的只是从A_m以后改成②，和④不同的只是从A _m以前改成倒过来的②，由于①是最长的链，其中A _m到两端的距离都不超过11，所以②的长即A _m到Z的距离也不超过11，因此，如果将某一消息告诉A _m，那么至迟经过10天，这一消息便为全区居民所知晓了。

再设k≥20，这时取A₁₀作为上述的A _m，并且把消息告诉他，按上面的论证，A₁₀到其他居民Z的链，只要是不经过A₁₁的，它的长不超过11，因此，至迟经过10天，所有这样的Z就都知道消息了，现在把这些Z（至少包括X，A₁…A₉）和A₁₀分离出来，剩下的居民至多只有1 000—11人，原来由A₁₀到剩下的每个居民的熟人链都经过A₁₁，但不再经过被分出的任何居民，因为由A₁₀到分出的每个居民已经有不经过A₁₁的链，不可能再有经过A₁₁的链，这就是说，在剩下的居民中，由A₁₁到其他每个居民都有熟人链，从而把由A₁₁到任何两个居民的链在其共有的最后成员处连接起来，就是这两个居民之间的链，因此，剩下的居民仍可按上述方法处理。

上述方法每进行一次，就可以把消息告诉一个居民，使得在10天之内至少有11个人知道这个消息，由于1 000=11×89+21，所以至多进行89+1次，就可以选出90个居民，同时告诉他们某一消息，使得经过10天这一消息便为全区居民所知晓。