数缺形时少直观，形少数时难入微，
             数形结合百般好，隔裂分家万事休。 ---华罗庚

抽象函数的类型与解法

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序.其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨.

1.       正比例函数型的抽象函数

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x₂）＝f[（x₂－x₁）＋x₁]＝f（x₂－x₁）＋f（x₁））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a²－2a－2）<3的解.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号

2.       幂函数型的抽象函数

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].

（1）       判断f（x）的奇偶性；

（2）       判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；

（3）       若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.

分析：（1）令y＝－1；

     （2）利用f（x₁）＝f（·x₂）＝f（）f（x₂）；

     （3）0≤a≤2.

3.       指数函数型的抽象函数

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x₁≠x₂，使得f（x₁）≠f（x₂）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：

（1）       f（0）；

（2）       对任意值x，判断f（x）值的符号.

分析：（1）令y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出f（x）＝2^x；再用数学归纳法证明.

4.       对数函数型的抽象函数

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：

（1）       f（1）；

（2）       若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.

分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.

分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，

进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

5.       三角函数型的抽象函数

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①     x₁、x₂是定义域中的数时，有f（x₁－x₂）＝；

②     f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③     当0＜x＜2a时，f（x）＜0.

    试问：

（1）       f（x）的奇偶性如何？说明理由；

（2）       在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.

    分析：（1）利用f [－（x₁－x₂）]＝ －f [（x₁－x₂）]，判定f（x）是奇函数；

（3）       先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.

    对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

    例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），

（1）       求证：f（1）＝f（－1）＝0；

（2）       求证：f（x）为偶函数；

（3）       若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.

分析：函数模型为：f（x）＝log_a|x|（a＞0）

（1）       先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；

（2）       令y＝ －1；

（3）       由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：

（1）       当x＞0时，0＜f（x）＜1；

（2）       f（x）在x∈R上是减函数.

分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；

（3）       受指数函数单调性的启发：

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，

进而由x₁＜x₂，有＝f（x₁－x₂）＞1.

总之，因为抽象函数与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，加上本身的抽象性、多变性，所以问题类型众多，解题方法复杂多变.尽管如此，以特殊模型代替抽象函数帮助解题或理解题意，是一种行之有效的教学方法，它能解决中学数学中大多数抽象函数问题.这样做符合学生的年龄特征和认知水平，学生不仅便于理解和接受，感到实在可靠，而且能使学生展开丰富的想象，以解决另外的抽象函数问题.

练习题：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（   ）

（A）f（0）＝0                    （B）f（0）＝1  

（C）f（0）＝0或1                （D）以上都不对

2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（   ）

（A）f（1）＝0                     （B）f（）＝ f（x）  

（C）f（）＝ f（x）－f（y）       （D）f（xⁿ）＝nf（x）（n∈N）

3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（   ）

（A）（1，＋∞）                   （B）（－∞，1）

（C）（0，1）                      （D）（－1，＋∞）

4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x₁、x₂都有

f（x₁－x₂）＝，则f（x）为（   ）

（A）奇函数非偶函数              （B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数        （D）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（   ）

（A）奇函数非偶函数              （B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数        （D）非奇非偶函数

参考答案：

1．A

2．B

3．C

4．A

5．B