数缺形时少直观，形少数时难入微，
             数形结合百般好，隔裂分家万事休。 ---华罗庚

                                  由递推式求数列通项七例

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1 递推公式为

解法：把原递推公式转化为，利用累加法求解。

例1. 已知数列满足，求。

解：由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以

又因为

所以

类型2 （1）递推公式为

解法：把原递推公式转化为，利用累乘法求解。

例2（1）. 已知数列满足，求。

解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

所以

又因为，所以。

（2）．由和确定的递推数列的通项可如下求得：

由已知递推式有

依次向前代入，得

      ，简记为。

这就是叠代法的基本模式。

例2（2）．已知，求。

解：

       。

类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）。

解法：把原递推公式转化为：

其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例3. 已知数列中，，求。

解：设递推公式

可以转化为

即，所以

故递推公式为

令，则

，且

所以是以为首项，2为公比的等比数列，则

所以

类型4 递推公式为（其中p，q均为常数，）。

解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

引入辅助数列（其中），得：

再应用类型3的方法解决。

例4. 已知数列中，，求。

解：在两边乘以得：

令，则

应用例3解法得：

所以

类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为

其中s，t满足，再应用前面类型的方法求解。

例5. 已知数列中，，求。

解：由可转化为

即

所以

解得：或

这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则

所以是以首项为，公比为的等比数列

所以

应用类型1的方法，令，代入上式得个等式累加之，即

又因为，所以。

类型6 递推公式为与的关系式。

解法：利用进行求解。

例6. 已知数列前n项和。

（1）求与的关系；

（2）求通项公式。

解：（1）由得：

于是

所以

即

（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以得：

由，得：

于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

故

类型7 双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例7. 已知数列中，；数列中，。当时，，求。

解：因

所以

即

又因为

所以

即

由<1>、<2>得：