数缺形时少直观，形少数时难入微，
             数形结合百般好，隔裂分家万事休。 ---华罗庚

数列通项公式的六种求法

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的六种常用方法。

一、        直接法

如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据等差（或等比）数列的通项公式，求得，d（或q），从而直接写出通项公式。

例1.  等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（    ）

(A)   (B)  (C)   (D)

解析：设等差数列的公差位d，由已知，

解得，又是递减数列，   ∴ ，，

∴ ，故选(D)。

例2.  已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。

解析：由题意，，又是等比数列，公比为

∴，故数列是等比数列，，

∴

二、        归纳法

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…

（1）       写出与之间的关系式（）。

（2）       设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。

（3）       略

解析：（1）∵ 是线段的中点， ∴

（2），

=，

=，

猜想，下面用数学归纳法证明

 当n=1时，显然成立；

 假设n=k时命题成立，即

  则n=k+1时，=

                   =

∴ 当n=k+1时命题也成立，

∴ 命题对任意都成立。

三、        累加（乘）法

对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4.  若在数列中，，，求通项。

解析：由得，所以

，，…，，

将以上各式相加得：，又

所以 =

例5.           在数列中，，（），求通项。

解析：由已知，，，…，，又，

所以=…=…=

四、        构造法

有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。

例6.           在数列中，，，，求。

解析：在两边减去，得

∴ 是以为首项，以为公比的等比数列，

∴，由累加法得

=

  =…==

  =

例7.           （2003年全国高考题）设为常数，且（），

证明：对任意n≥1，

证明：设，

     用代入可得

∴  是公比为，首项为的等比数列，

∴  （），

即：

五、        公式法

    公式法即利用公式求数列通项公式的一种方法。

例8.           在数列中，+2+3+…+=，求 。

 解析：令=+2+3+…+=，

     则=+2+3+…+=，

     则－==－，

     ∴  =－=

例9.  设数列的前n项和=，求 。

 解析：由=，得=，

∴  =－=－+（）

∴  =+，两边同乘以，得=+2，

∴  是首项为1公差为2的等差数列，

∴  =2+=，  ∴  =

六、        代换法

例10.  已知数列满足，，求 。

解析：设，∵  ， 

∴  ，，…，

总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等差（或等比）数列的通项公式求其通项。