数缺形时少直观，形少数时难入微，
             数形结合百般好，隔裂分家万事休。 ---华罗庚

求轨迹方程的十种技法

  轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。

1直接法

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

  例1 已知动点M到定点A（1，0）与到定直线L：x=3的距离之和等于4，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

　解设M（x,y）是轨迹上任意一点，作MN⊥L于N，

由　｜MA｜＋｜MN｜＝4，得 

当x≧3时上式化简为　y²=－12(x-4)

当x≦3时上式化简为  y²=4x

所以点M的轨迹方程为　y²=－12(x-4)　 (3≦x≦4)

和y²=4x (0≦x≦3).  其轨迹是两条抛物线弧。

2定义法

  圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。

  例2 在相距离1400米的A、B两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？

  解 因为炮弹爆炸点到A、B两哨所的距离差为3×340=1020米，若以A、B两点所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系，由双曲线的定义知炮弹爆炸点在双曲线  上．

 3 转移法

   若轨迹点P（x ,y）依赖于某一已知曲线上的动点Q（x₀, y₀），则可先列出关于x、y, x₀、y₀的方程组，利用x、y表示出x₀、y₀，把x₀、y₀  代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程。

  例3 已知P是以F₁、F₂为焦点的双曲线上的动点，求ΔF₁F₂P的重心G的轨迹方程。

  解 设 重心G（x, y）, 点 P（x₀, y₀），  因为F₁（-4，0），F₂（4，0）

则有  , ， 故代入  　 

得所求轨迹方程　（y≠0）

4点差法

   圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x₁+x₂,  y₁+y₂,  x₁-x₂,  y₁-y₂   等关系式，由于弦AB的中点P（x, y）的坐标满足2x= x₁+x_2, 2y= y₁+y₂且直线AB的斜率为，由此可求得弦AB的中点的轨迹方程。

  例4 已知以P（2，2）为圆心的圆与椭圆x²+2y²=m交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。

解 设M（x, y），A（x₁, y₁），B（x₂, y₂）

则x₁+x₂=2x , y₁+y_{2 =} 2y 由， 

两式相减并同除以（x₁-x₂）得

 ,　而k_AB=

k_PM=, 又因为PM⊥AB所以k_AB×k_PM=－1

故   化简得点M的轨迹方程xy +2x­- 4y=0

5几何法

  运用平面几何的知识如平几中的5个基本轨迹、角平分线性质、圆中垂径定理等分析轨迹形成的条件，求得轨迹方程。

 例5如图，给出定点A（a,0）(a>0)和直线L：x=－1, B是直线L上的动点，∠BOA的平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。

解 设B（-1，b），则直线OA和OB的方程

分别为y=0和y=－bx , 设C（x,y），由点C到

OA，OB的距离相等，得|y|=  ①

又点C在直线AB上，故有y=

由x-a≠0得b=－ 代入① 化简整理得  y²[(1-a)x²-2ax+(1+a)y²]=0

若y≠0,  则   (1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0      (0<x<a)

若y=0,   则 b=0,∠AOB=π得C（0，0）满足上式，综合得点C的轨迹方程为　(1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0   (0≤x<a)   以下对a分类讨论略

(本题用三角形内角平分线性质定理来解亦很方便)

6交轨法

    若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。

例6已知MN是椭圆中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线 MA和NB的交点P的轨迹方程。

  解1:(利用点的坐标作参数)

令M(x₁,y₁ ) ，则N(x₁,-y₁)

而A(-a,0),B(a,0) .设AM与NB的交点为P(x,y)

因为A, M, P 共线. 所以

因为N, B,P 共线. 所以

两式相乘得①， 而即代入①

得，　即交点P的轨迹方程为　

解2:  (利用角作参数)

设M(acosθ,bsinθ)  则N(acosθ,-bsinθ)

所以   ,      两式相乘消去θ

即可得所求的P点的轨迹方程为

7参数法

根据给定的轨迹条件,恰当地选择参数,建立曲线的参数方程,然后消去参数,得到轨迹的普通方程.常用的参数有点参数，角(θ)参数,斜率(k)参数,定比(λ)参数,用此法要注意参数的实际意义.

例7如图,设点A和B为抛物线y²= 4px (p>0)上原点O以外的两个动点,

且OA⊥OB,过O作OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程.

 解1 (常规设参)设M(x,y)，A(x₁,y₁),　B(x₂,y₂),则

　（※）　　　　　　　　　　　　　

由A,M B共线得     则

把（※）代入上式得化简得M的轨迹方程为x²+y²-4px=0(x≠0)

解2 (变换方向) 设OA的方程为y=kx (k≠0) 则OB的方程为

由　 得 A() ， 　由　得　B (2pk²,-2pk)

所以直线AB的方程为  ①

因为OM⊥AB,所以直线OM的方程为 ②

①×②即得M的轨迹方程:　x²+y²-2px=0(x≠0)

解3  (转换观点)  视点M为定点,令M( x₀,y₀),  由OM⊥AB可得直线AB的方程为, 与抛物线y²=4px联立消去y 得,设A(x₁,y₁),  B(x₂,y₂)  则

又因为OA⊥OB  所以  故=即  所以M点的轨迹方程为　

8韦达定理法

有些轨迹问题,其变量或不确定的因素较多,直接探求显得困难,但是,根据题设构造出一个一元二次方程,利用韦达定理来探究,则往往能消除一些参变量,迅速求得轨迹方程．

例8 过抛物线y=x²的顶点 O,任作两条互相垂直的弦OA,OB, 若分别以OA,OB为直径作圆, 求两圆的另一交点C的轨迹方程．

解：设A,B两点的坐标分别为 (),  () , 则由OA⊥OB得 t₁t₂=－1

因为以OA为直径的圆方程为 　①

同理以OB为直径的圆方程为   　　②

而点C(x,y)满足①② ,由①②知t₁,t₂是关于t的二次方程yt² + xt- x²- y²= 0的两根,根据t₁t₂=－1及韦达定理得 , 即有x² + y² - y =0(y≠0)

这就是C点的轨迹方程.

9 复数法

  将直角坐标平面看成复平面,利用复数的几何意义求解动点轨迹方程.

例9 边长为m的正三角形ABC的两顶点A,B分别在x轴,y轴上滑动, A .B .C三点按顺时针顺序排列，求点C的轨迹方程.

解: 视xoy为复平面,设 C(x,y),  A(a,0) , B(0,b)

则向量表示的复数为x+yi,向量表示的复数为a,向量表示复数 –a+bi,把向量按顺时针方向旋转就得到向量,所以向量表示的复数为,由得

由复数相等的条件得  而a²+b²=m²

所以点C的轨迹方程为

10 极坐标法

  某些动点按照一定的规律运动时,如果与角度和长度有关,则可通过建立极坐系较为方便地求得轨迹方程.

 　例10已知椭圆与直线L: , P为直线L上的任一点,OP交椭圆于点R,

Q是OP上一点,且满足　|OP||OQ|=|OR|²

求动点Q的轨迹方程并指出轨迹的曲线.

解 以原点为极点,ox轴正方向为极轴建立极坐标系

则椭圆的极坐标方程为,直线L的极坐标方程,则,

设点Q(ρ,θ),　由|OQ||OP|=|OR|²得　

整理得 即2x²+3y²=4x+6y(x,y不同为0)

故Q点的轨迹方程为(x,y不同为0),其轨迹是去掉原点的一个椭圆.