数缺形时少直观，形少数时难入微，
             数形结合百般好，隔裂分家万事休。 ---华罗庚

浅析抽象函数单调性的证明

抽象函数是指未给出表示函数关系的具体解析式而仅用记号f（ ）表示的函数.

1.              给出单调性型

      例1   已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数,在区间[―a,―b](a>b>0)上, f(x)是减函数,且f(―b)>0,求证:函数[f(x)]²在区间[b, a]是增函数.

分    析:这里f(x)、[f(x)]²都是未给出解析式的抽象函数,思考的抽象性上有难度,表述的严谨性上要注意.

      证明:设则

      而     (＊)

       又

    ∴(＊)>0,即

    例2.已知f(x)是定义在R上的增函数,设,求证:F(x)为增函数.

     证明:设

      而 

=     (＊)

     (＊)<0,即,.

2.              给出条件不等式型

2.1               直接变形使用条件不等式

例3已知函数f(x)的定义域为(0，+∞),对定义域内的任意都有，且当时，.

      求证: .

     证明:设则

     即

      ,

     例4.已知函数f(x)对任意,都有并且当时, ,求证:                  .   

         明:设则

     当时, ,又,

     即

      .

    2.2综合变形使用条件不等式

    例5.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都满足,

      且当时, f(x)>0.求证:.

      证明: 设则

     又

     即

     ，.

     例6.定义在上的函数满足:

     (Ⅰ)对任意都有

     (Ⅱ)当时,有

     求证: 在上是奇函数. 

      证明:令得,

      令则有

     在上是奇函数.

      设则

     又,

     由(Ⅱ)知,即

       在上是减函数.