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数缺形时少直观，形少数时难入微， |
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例谈用一元三次函数培养解题能力 新的数学课程体系确立了以培养能力为核心的新教育观念和思想，因此近年来高考以及各地模拟试题中，对函数的考查并不仅仅局限在一些常用的函数上，出现了不少以三次函数为背景的好试题，比较成功地培养和考查了学生各方面能力。 1、 以三次函数为蓝本，培养学生分析运用函数性质的能力 （1） 考查函数的奇偶性和单调性 例1 已知函数f(x)=x3+px+q(x∈R)是奇函数，且在R上是增函数，则（ ） A、p=0,q=0 B、p∈R,q=0 C、p≤0,q=0 D、p≥0,q=0 解析 由奇函数以及增函数的定义易知选D （2） 考查函数图象的对称性 例2 函数f(x)=x3-3x2+x-1的图象关于（ ）对称 A、直线x=1 B、直线y=x C、点(1,-2) D、原点 解析 由f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于成中心对称知选C （3） 运用函数的性质和数形结合思想解题 例3 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（ ） A、b∈(-∞,0) B、b∈(0,1) C、b∈(1,2) D、b∈(2,+ ∞)
f(x)= ax3-3ax2+2ax比较系数可知b=-3a<0，故选A 引申 试确定的a,b,c,d符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0） o 1 2 2、以三次函数为载体，培养学生综合运用知识的能力 （1） 考查集合、映射等知识 例4 设f(x)=x3-x,M=｛x|1-k<x<k｝N=｛x| f(x)<0｝，若M N，求k的取值范围 解析 由f(x)<0解得x<-1或a<x<1，则N=｛x| x<-1或a<x<1 ｝，又MN，得0<k<1,0<1-k<1或k<-1,1-k<-1解得0<k<1或k∈ 故k的取值范围是（0，1） （2）、考查函数不等式等知识 例5 设函数f(x)=x3(x∈R)，若时, 恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A、(0,1) B、(-∞,0) C、 D、(-∞,1) 解析 由函数f(x)=x3在R上为奇函数知，又f(x)=x3在R上为增函数，得即 设，由知 ,故选D （3）、考查二项式定理及函数知识 例6 设f(x)=x3-3x2+3x+1，则f(x)的反函数f-1(x)= 解析 结合二项式定理知f(x)=(x-1)3+2，令f(x)=y有y-2=(x-1)3得x-1=, x=+1故f-1(x)= +1 3、以三次函数为核心，培养学生分析问题、解决问题的能力 以三次函数为核心，与不等式、数列、解析几何等知识结合综合考查学生分析问题、解决问题的能力。 例7 设f(x)=x3，等差数列｛an｝中a3=7,a1+a2+a3=12，记Sn=,令bn= an Sn，数列｛｝的前项和为Tn。 （1） 求｛an｝的通项公式和Sn （2） 求的值 解析 （1）设数列｛an｝的公差为d，由a3= a1+d=7, ,a1+a2+a3=3a1+3d=12解得a1=1,d=3 ∴an=3n-2, ∵f(x)=x3 ∴Sn==an+1 (2) bn= an Sn=(3n-2)(3n+1), ∴ 故 例8 设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴，y轴的正向分别平行移动t,s单位长度后得到曲线C1。 （1） 写出曲线C1的方程； （2） 证明曲线C与C1关于点对称; （3） 如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明S=且. 解析 （1）曲线C1的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s （3） 证明：在曲线C上任意取一点B1(x1,y1)，设B2(x2,y2)是B1关于A的对称点，则有，代入曲线C的方程得x2和y2满足的方程：S-y2=(t-x2)3-(t-x2)即y2=(t-x2)3-(t-x2)+S可知点B2(x2,y2)在曲线C1上。 （4） 证明：由曲线C与C1有且仅有一个公共点得 方程组有且仅有一组解， 消去y整理得3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0， 这个关于的一元二次方程有且仅有一个根， 所以且即9t4-12t(t3-t-s)=0且 ∴S=且 |
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