数缺形时少直观，形少数时难入微，
             数形结合百般好，隔裂分家万事休。 ---华罗庚

函数对称性、周期性全解析

函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下：

一、  同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、  周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、  对称性定义（略），请用图形来理解。

3、  对称性：

我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式

       上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的

       探讨：（1）函数关于对称

             也可以写成 或

              简证：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。

             若写成：，函数关于直线 对称

            （2）函数关于点对称

              或

             简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。

             若写成：，函数关于点 对称

            （3）函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。

4、  周期性：

            （1）函数满足如下关系系，则

               A、  B、

               C、或（等式右边加负号亦成立）

               D、其他情形

            （2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”

            （3）如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）

                 如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上）

             （4）如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。

二、  两个函数的图象对称性

1、  与关于X轴对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

2、  与关于Y轴对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

3、  与关于直线对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

4、  与关于直线对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

5、  关于点(a,b)对称。

换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。

6、  与关于直线对称。