数缺形时少直观，形少数时难入微，
             数形结合百般好，隔裂分家万事休。 ---华罗庚

                   含参不等式恒成立问题个例

 “含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，含参不等式恒成立问题常运用等价转化的数学思想，根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论。

例1、       设，

（1）       当时，恒成立，求的取值范围；

（2）       当时，恒成立，求的取值范围。

分析：

（1）当时，恒成立，即当时，恒成立

即当时，恒成立

实数需且只需，所以

（2）方法一：当时，恒成立，

即当时，恒成立

而在上的最小值是

由知或得

方法二：当时，恒成立，

即当时，恒成立

即当时，恒成立的充要条件是

①          ②

综合起来，得

方法三：当时，恒成立，

即当时，恒成立

即当时，恒成立，

分三种情况讨论

评注：本例适宜用二次函数的最值来处理，不宜用参变量分离。

例2、       已知函数对任意实数都有

，

（1）若为自然数，试求的表达式；

（2）若为自然数,且时，恒成立，求的最大值。

解（1），

（2）由题意，当，时恒成立

当，时恒成立

当，时恒成立

记，，

函数，的图象表示在上的一条射线，

所以要使问题恒成立，只要    ,

评注：本例不适宜用三次函数的最值来处理，宜用参变量分离。

例3、函数

若对任意，恒成立，求实数的取值范围。

分析：若对任意，恒成立，

即对，恒成立，

考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得

方法一：考虑抛物线在的最小值得

方法二：考虑参数分离只需在时恒成立, 考虑定抛物线在的最大值，得

评注：本例只要适当挖掘隐含条件，无论是用二次函数的最值来处理，还是用参变量分离来处理均可。

例4、已知在区间上是增函数

（1）求实数的值组成的集合；

（2）设关于的方程的两个非零实根为。试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。

分析：（1）由在区间上是增函数

得在恒成立，即在恒成立，

所以   ①在恒成立

令  式①成立的充要条件是

  解得

（2）由得

，由，又

记 ，，

问题转化为，对任意恒成立

记，，

函数，图象表示在上的一条线段，

要使问题恒成立，只要，

得解或

评注1：本例第一小题是隐含的恒成立，只要适当挖掘条件，本例适宜用二次函数的最值来处理，不宜用参变量分离。

评注2：本例第二小题如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元、次变元，逐步减元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。

此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于的不等式进行分类讨论。然而，若变换一个角度先以为主元，记 ，，则问题先转化为求定二次函数在定区间[－1，1]内的最值。后以为主元，记，，巧用函数图象的特征（一条线段）， 要使问题恒成立，只要使线段的两个端点 及同时成立即可，从而得解 。

例5、（2007浙江22）设，对任意实数，记．

（ = 1 \* ROMAN I）求函数的单调区间；

（ = 2 \* ROMAN II）求证：（ⅰ）当时， 对任意正实数成立；

（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

（I）解：．由，得．

因为当时，，当时，，当时，，

故所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．

（II）（ⅰ）分析：需证明：当时， 对任意正实数成立

                即证明：当，时，恒成立

因为有二个变元，对于先固定，还是先固定产生不同的方法。

证明：方法一：对任意固定的令，

则，

当时，由，得，

当时，当时，，

所以在内的最小值是

又因为

故当时，对任意正实数成立．

方法二：

对任意固定的，令，则，

由，得．当时，．当时，，

所以当时，取得最大值．

因此当时，对任意正实数成立．

（ii）分析：有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

因为对任意，,关于的最大值是

只须证明有且仅有一个，使得

所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：

即，                             ①

又因为，不等式①成立的充分必要条件是，

所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

评注：虽说本题是压轴题，但只要理解例4中的多元参变量分离的处理本题，要解答本题也非不可能的难事。