数缺形时少直观，形少数时难入微，
             数形结合百般好，隔裂分家万事休。 ---华罗庚

分段函数的几个问题

分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。学生对此认识比较肤浅，本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：

1、  分段函数的含义

所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识：

（1）  分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）  分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

2、  求分段函数的函数值

例1已知函数,求(<0)的值。

分析　求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。是分段函数，要求，需要确定的取值范围，为此又需确定的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解。

解 ∵<0,

∴,

∵0<<1,

∴==,

∵>1,

∴===－,

3、  求分段函数的解析式

例2　已知奇函数()，当>0时，=(5－)+1.求在R上的表达式。

解　∵是定义域在R上的奇函数，

∴=0.

又当＜0时，－>0,

故有=－[5－(－)]+1=－(5+)+1。

再由是奇函数,

=－=(5+)－1.∴

例3           求函数=+(2－6)+3(0≤≤1)的最小值。

解　=[－(3－1)]²－6+6－1

∵0≤≤1,

当3－1<0时，的最小值为f(0)=3,

当0≤3－1≤1时，的最小值为f(3－1)=－6+6－1；

当3－1>1时，的最小值为f(1)=3－6+3。

因此函数的最小值可表示成关系于的分段函数.

4、  求分段函数的最值

例4　求函数的最小值

方法1　先求每个分段区间上的最值，后比较求值。

当≤0时,==2+3,此时显然有_maX= =3;

当0<≤1时，==+3,此时_max==4

当>1时，==－+5，此时无最大值.比较可得当=1时,_max=4.

方法2  利用函数的单调性

由函数解析式可知，在∈(∞,0)上是单调递增的，在∈(0,1)上也是递增的，而在∈(1,+∞)上是递减的，

由的连续性可知当=1时有最大值4

方法3　利用图像，数形结合求得

作函数=的图像（图1），

显然当=1时_max=4.

说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.